Площадь треугольника

Содержание

1 Научная и техническая деятельность
2 Формула Герона
3 Формулы для площади треугольника
4 Задачи на применение формулы Герона
5 Годы жизни Герона
6 См. также
7 История формулы Герона
8 Формула Герона
9 Вывод формул для площади равностороннего треугольника

Научная и техническая деятельность

Механика

Паровая турбина Герона

В трактате «Механика» (Μηχανική), состоящем из трёх книг, Герон описал пять типов простейших машин: рычаг, ворот, клин, винт и блок. Герон установил «золотое правило механики», согласно которому выигрыш в силе при использовании простых механизмов сопровождается потерей в расстоянии.

В трактате «Пневматика» (Πνευματικά) Герон описал различные сифоны, хитроумно устроенные сосуды, автоматы, приводимые в движение сжатым воздухом или паром. На иллюстрации представлен эолипил, представлявший собой первую паровую турбину — шар, вращаемый силой струй водяного пара. Также Герон изобрёл автомат для открывания дверей, автомат для продажи «святой» воды, пожарный насос, водяной орган, механический театр марионеток. В книге «Об автоматах» (Αυτόματα) также описаны различные автоматические устройства.

В трактате «Беллопоэтика» (Βελοποιητικά) Герон описал различные военные метательные машины.

Геодезия

В книге «О диоптре» (Περὶ διόπτρας) описан диоптр — простейший прибор, применявшийся для геодезических работ. Этот прибор представляет собой линейку с двумя смотровыми отверстиями, которую можно поворачивать в горизонтальной плоскости и при помощи которой можно визировать углы.

Герон излагает в своём трактате правила земельной съёмки, основанные на использовании прямоугольных координат. В предложении 15 описывается, как строится геодезическое обоснование при прокладке тоннеля сквозь гору, когда работы ведутся одновременно с обоих его концов.

В предложении 34 описан одометр — прибор для измерения расстояния, пройденного повозкой. В предложении 38 описывается сходное устройство, позволяющее определять расстояние, пройденное кораблём.

Оптика

В «Катоптрике» (κατοπτρικά) Герон обосновывает прямолинейность световых лучей бесконечно большой скоростью их распространения. Он приводит доказательство закона отражения, основанное на предположении о том, что путь, проходимый светом, должен быть наименьшим из всех возможных (частный случай принципа Ферма)

Исходя из этого принципа, Герон рассматривает различные типы зеркал, особое внимание уделяя цилиндрическим зеркалам.

Математика

«Метрика» (Μετρική) Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений:

Как найти площадь прямоугольника

Целочисленные героновы треугольники.
Формулы для площадей правильных многоугольников.
Объёмы правильных многогранников, пирамиды, конуса, усечённого конуса, тора, шарового сегмента.
Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон (открытая Архимедом).
Правила численного решения квадратных уравнений.
Алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней (см. Итерационная формула Герона).

В основном изложение в математических трудах Герона догматично: правила часто не выводятся, а только показываются на примерах.

Книга Герона «Определения» представляет собой обширный свод геометрических определений, по большей части совпадающих с определениями «Начал» Евклида.

Формула Герона

Эта формула позволяет вычислить площадь треугольника по его сторонам а, b и с:S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),где р — полупериметр треугольника, т.е. р = (а + b + с)/2. Формула названа в честь древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Герон рассматривал треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми числами. Такие треугольники называют героновыми. Например, это треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53.Существуют аналоги формулы Герона для четырехугольников. В связи с тем, что задача на построение четырехугольника по его сторонам а, Ь, с и d имеет не единственное решение, для вычисления в общем случае площади четырехугольника недостаточно только знания длин сторон. Приходится вводить дополнительные параметры или накладывать ограничения. Например, площадь вписанного четырехугольника находится по формуле: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)Если же четырехугольник и вписанный, и описанный одновременно, его площадь находится по более простой формуле: S=√(abcd).

Герон Александрийский — греческий математик и механик. Он первым изобрёл автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину, автоматические декорации, прибор для измерения протяжённости дорог (древний одометр) и др. Первым начал создавать программируемые устройства (вал со штырьками с намотанной на него верёвкой).Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. Основные произведения: Метрика, Пневматика, Автоматопоэтика, Механика (произведение сохранилось целиком в арабском переводе), Катоптрика (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. В 1814 году было найдено сочинение Герона «О диоптре», в котором изложены правила земельной съёмки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. Герон использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака. Многие из его книг безвозвратно утеряны (свитки содержались в Александрийской библиотеке). В трактате «Механика» Герон описал пять типов простейших машин: рычаг, ворот, клин, винт и блок. В трактате «Пневматика» Герон описал различные сифоны, хитроумно устроенные сосуды, автоматы, приводимые в движение сжатым воздухом или паром. Это эолипил, представлявший собой первую паровую турбину — шар, вращаемый силой струй водяного пара; автомат для открывания дверей, автомат для продажи «святой» воды, пожарный насос, водяной орган, механический театр марионеток. В книге «О диоптре» описан диоптр — простейший прибор, применявшийся для геодезических работ. Герон излагает в своём трактате правила земельной съёмки, основанные на использовании прямоугольных координат. В «Катоптрике» Герон обосновывает прямолинейность световых лучей бесконечно большой скоростью их распространения

Герон рассматривает различные типы зеркал, особое внимание уделяя цилиндрическим зеркалам.«Метрика» Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений:

Формулы для площадей правильных многоугольников.
Объёмы правильных многогранников, пирамиды, конуса, усечённого конуса, тора, шарового сегмента.
Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон (открытая Архимедом).
Правила численного решения квадратных уравнений.
Алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней.

Формулы для площади треугольника

Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

Как найти площадь любого треугольника

Фигура	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Произвольный треугольник			a – любая сторона,h_a – , опущенная на эту сторону
		a и b – две любые стороны,С – угол между ними
	.	a, b, c – стороны,p – Формулу называют «Формула Герона»
		a – любая сторона,B, С – прилежащие к ней углы
		a, b, c – стороны,r – радиус ,p –
		a, b, c – стороны,R – радиус
	S = 2R2 sin A sin B sin C	A, B, С – углы,R – радиус
Равносторонний (правильный) треугольник			a – сторона
		h –
		r – радиус
		R – радиус
			a и b –
		a – ,φ – прилежащий острый угол
		a – ,φ – противолежащий острый угол
		c – ,φ – любой из острых углов

Произвольный треугольник
	гдеa – любая сторона,h_a – , опущенная на эту сторону
	гдеa и b – две любые стороны,С – угол между ними
	. гдеa, b, c – стороны,p – Формулу называют «Формула Герона»
	гдеa – любая сторона,B, С – прилежащие к ней углы
	гдеa, b, c – стороны,r – радиус ,p –
	гдеa, b, c – стороны,R – радиус
	S = 2R2 sin A sin B sin C гдеA, B, С – углы,R – радиус
Равносторонний (правильный) треугольник
	гдеa – сторона
	гдеh –
	гдеr – радиус
	гдеR – радиус

	гдеa и b –
	гдеa – ,φ – прилежащий острый угол
	гдеa – ,φ – противолежащий острый угол
	гдеc – ,φ – любой из острых углов

Произвольный треугольник

гдеa – любая сторона,h_a – , опущенная на эту сторону

гдеa и b – две любые стороны,С – угол между ними

гдеa, b, c – стороны,p –

Формулу называют «Формула Герона»

гдеa – любая сторона,B, С – прилежащие к ней углы

гдеa, b, c – стороны,r – радиус ,p –

гдеa, b, c – стороны,R – радиус

S = 2R2 sin A sin B sin C

гдеA, B, С – углы,R – радиус

Равносторонний (правильный) треугольник

гдеa – сторона

гдеh –

гдеr – радиус

гдеR – радиус

гдеa и b –

гдеa – ,φ – прилежащий острый угол

гдеa – ,φ – противолежащий острый угол

гдеc – ,φ – любой из острых углов

Задачи на применение формулы Герона

Задача 2

Дан , его основание , боковые стороны и соответственно . Точка , лежащая внутри треугольника, находится на расстоянии от стороны и от стороны . Найти расстояние от точки до стороны (см. Рис. 4).

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Рассмотрим треугольник : в нём – высота. Обозначим: . Тогда: .

Найдём площадь треугольника .

Для начала найдём площадь треугольника через формулу Герона:

Как найти площадь правильного и неправильного шестиугольника?

Теперь вычислим площадь треугольника : .

Площадь треугольника: : .

Теперь, учитывая следующее соотношение: , получаем: .

Теперь найдём расстояние от точки до стороны : .

Ответ: .

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/formula-gerona-dlya-nahozhdeniya-ploschadi-treugolnika

https://www.youtube.com/watch?v=zp82OIuz93g

http://v.5klass.net/zip/823d1fb40b3ed49403a117ef8517c666.zip

http://kak-kak2.ru/img/605c9fb504028311913e985a5ea8d1e1.jpg

http://hijos.ru/2012/10/03/formula-gerona/

http://www.calc.ru/Formula-Gerona.html

Годы жизни Герона

Годы жизни Герона в XX веке стали предметом дискуссии. Согласно античным источникам, он жил после Архимеда, но перед Паппом, то есть где-то между 200 годом до н. э. и 300 годом н. э. Некоторые историки XVIII—XIX веков указывали более конкретные даты в этом интервале, например, Бальди помещает Герона под 120 годом до н. э., а в ЭСБЕ указан год рождения Герона — 155 год до н. э..

В 1938 году Отто Нойгебауэр предположил, что Герон жил в I веке н. э. Это предположение было основано на том, что в его книге «О диоптре» упоминается лунное затмение, которое было замечено за 10 дней до весеннего равноденствия. Его указание, что оно произошло в Александрии в 5 часов ночи, однозначно указывает в интервале между 200 до н. э. и 300 н. э. на лунное затмение от 13 марта 62 года (юлианская дата). В последнее время датировка Нойгебауера была подвергнута критике Натаном Сидоли (Nathan Sidoli).

См. также

История формулы Герона

На данном уроке мы изучим формулу Герона, позволяющую вычислять площадь треугольника по его сторонам.

До этого мы умели вычислять площадь треугольника, зная его основание и высоту: и катеты (для прямоугольного треугольника): . Формула Герона – это новая формула, которая связывает площадь треугольника и длины всех трёх его сторон.

Открыта эта формула была, по всей видимости, ещё Архимедом в веке до н.э., но его доказательство не дошло до наших дней. А вот в «Метрике» Герона Александрийского ( век до н.э.) она есть.

Герона (см. Рис. 1) интересовали треугольники с целочисленными сторонами, площадь которых также является целым числом. Такие треугольники в его честь называют героновыми.

Простейший геронов треугольник – так называемый египетский треугольник (со сторонами 3, 4 и 5).

Рис. 1. Герон Александрийский (Источник)

Теорема

Площадь произвольного треугольника можно вычислить по формуле: , где – полупериметр, – длины сторон треугольника.

Доказательство

Рассмотрим призвольный треугольник (пусть – острые, напомним, что в треугольнике всегда есть хотя бы два острых угла). Обозначим в нём: . Проведём высоту , а также обозначим: (см. Рис. 2.).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Воспользуемся следствием из теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников : (1), : (2).

Приравняв правые части в формулах (1) и (2), получаем:

, откуда: . Так как (3), то получаем: (4).

Сложим формулы (3) и (4):

Теперь вернёмся к формуле (1) и подставим в неё полученное выражение для :

Теперь вспомним, что полупериметр выражается формулой: . Отсюда: . Тогда преобразуем полученную формулу:

Отсюда высота равна: .

Запишем известную нам формулу для площади треугольника: .

Доказано.

Задача 1

Стороны треугольника равны . Найти высоты этого треугольника.

Доказательство

Рассмотрим треугольник . Проведём в нём высоты . Напомним, что все высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Формула Герона

Именно эта формула является ответом на вопрос, как по трем сторонам найти площадь треугольника. Прежде чем ее записать, обозначим длины отрезков произвольной фигуры как a, b и c. Формула Герона записывается в следующем виде: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).

Где p — полупериметр фигуры, то есть: p = (a+b+c)/2.

Несмотря на кажущуюся громоздкость, приведенное выражение для площади S запомнить легко. Для этого следует сначала рассчитать полупериметр треугольника, затем вычесть из него по одной длине стороны фигуры, перемножить все полученные разницы и сам полупериметр. В конце следует взять квадратный корень от произведения.

Данная формула носит имя Герона Александрийского, жившего в начале нашей эры. Современная история полагает, что именно этот философ впервые применил указанное выражение для выполнения соответствующих вычислений. Эта формула опубликована в его труде «Метрика», который датируется 60-м годом нашей эры. Отметим, что некоторые работы Архимеда, жившего на два столетия раньше Герона, содержат признаки того, что греческому философу была уже известна формула. Кроме того, как найти площадь треугольника, зная три стороны, также знали древние китайцы.

Важно отметить, что поставленную задачу можно решить, не зная о существовании формулы Герона. Для этого следует провести в треугольнике пару высот и воспользоваться общей формулой из предыдущего пункта, составив соответствующую систему уравнений

Выражение Герона можно использовать для вычисления площадей произвольных многоугольников, предварительно разбивая их на треугольники и вычисляя длины возникающих диагоналей.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

Утверждение 7.

Если a – сторона равностороннего треугольника, то его площадь

Если h – равностороннего треугольника, то его площадь

Если r – радиус , то его площадь

Если R – радиус около равностороннего треугольника окружности, то его площадь

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 7.

Рис. 7

В силу утверждения 2

Рассмотрим рисунок 8.

Рис. 8

Поскольку

то

Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

Поскольку у равностороннего треугольника , то . Следовательно,

Рассмотрим рисунок 10.

Рис. 10

Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Следовательно,

Доказательство утверждения 7 завершено.