Электрическое сопротивление и проводимость

Тонкие плёнки

Сопротивление тонких плоских плёнок (когда её толщина много меньше расстояния между контактами) принято называть «удельным сопротивлением на квадрат», RSq.{\displaystyle R_{\mathrm {Sq} }.} Этот параметр удобен тем, что сопротивление квадратного куска проводящей плёнки не зависит от размеров этого квадрата, при приложении напряжения по противоположным сторонам квадрата. При этом сопротивление куска плёнки, если он имеет форму прямоугольника, не зависит от его линейных размеров, а только от отношения длины (измеренной вдоль линий тока) к его ширине L/W: RSq=RWL,{\displaystyle R_{\mathrm {Sq} }=RW/L,} где R — измеренное сопротивление. В общем случае, если форма образца отличается от прямоугольной, и поле в пленке неоднородное, используют метод ван дер Пау.

2.1.1. Физическая природа электропроводности металлов

Металлы имеют кристаллическое строение: в узлах кристаллической решетки находятся положительно заряженные ионы, окруженные коллективизированными электронами (электронным газом).

Современные представления об электронном строении металлов, распределении электронов по энергетическим состояниям, их взаимодействии с другими элементарными частицами и кристаллической решеткой дает квантовая теория, основы которой были разработаны советским ученым Я.И.Френкелем и немецким физиком А.Зоммерфельдом.

Читать также: Аппарат для напыления металла

Свободные электроны хаотически перемещаются по кристаллу со средней тепловой скоростью и = 10 5 м/с. В электрическом поле напряженностью Е электроны получают добавочную скорость упорядоченного движения v — скорость дрейфа, благодаря чему и возникает электрический ток. Плотность тока зависит от скорости дрейфа, заряда электрона е и концентрации свободных электронов n .

Скорость дрейфа в реальных условиях существенно меньше скорости теплового движения электронов v u . Так, в медном про-

воднике при плотности тока j = 1 А/мм 2 скорость дрейфа составляет v = 1 . 10 -4 м/с.

За время τ между столкновениями с узлами кристаллической решетки на длине свободного пробега l , электроны, двигаясь с уско-

рением a = e E , приобретают скорость дрейфа: m e

Приравнивая аналитическое выражение закона Ома (1.1) к выражению (2.1) с учетом (2.2), получим формулу для удельной проводимости

Выразим произведение m e . и через концентрацию свободных электронов, используя квантовую статистику, базирующуюся на принципе Паули, согласно которому в каждом энергетическом состоянии может находиться только один электрон, а на каждом энергетическом уровне — не более двух (с антипараллельными спинами). Тогда при температуре абсолютного нуля ( Т = 0 К) половина из общего числа свободных электронов в кристалле ( n /2) займет наиболее низкие энергетические уровни.

В квантовой теории вероятность заполнения электронами энергетических состояний с энергией уровня Э определяется функцией Ферми

где Э F — энергия Ферми, т.е. максимальная энергия, которую может иметь электрон в металле при температуре абсолютного нуля.

Из формулы (2.4) следует, что при Э = Э F , вероятность заполнения электронами уровня Ферми равна 0,5. Энергия Ферми для большинства металлов составляет от 3 до 15 эВ. Уровни, расположенные ниже уровня Ферми ( Э Э F ), с вероятностью >0,5 заполнены электронами, а уровни, лежащие выше уровня Ферми ( Э > Э F ), с такой же вероятностью свободны от электронов.

В соответствии с квантовой статистикой Ферми-Дирака концентрация свободных электронов в металле определяется путем интег-

рирования по всем заполненным энергетическим состояниям, что дает следующее выражение

Выразив из этого соотношения значение энергии Ферми через концентрацию электронов и, учитывая, что Э F = m e и 2 2 , получим

Подставляя m e и в формулу (2.3), найдем выражение для

удельной проводимости металлов

Концентрация свободных электронов в чистых металлах, характер их распределения по энергиям и энергия Ферми с повышением температуры почти не изменяются. Например, при нагреве серебра от 0 до 1000 К энергия Ферми уменьшается лишь на 0,2%. Такие малые изменения в широком температурном диапазоне можно не учитывать. Следовательно, формула (2.6) справедлива при любой температуре. Поэтому электропроводность металла определяется, в основном, средней длиной свободного пробега электронов, которая зависит от электронного строения атомов и типа кристаллической решетки. Длина свободного пробега для некоторых металлов дана в табл. 1.

Длина свободного пробега электронов в некоторых металлах при 0 ° С

Наибольшая длина свободного пробега наблюдается в металлах с гранецентрированной кубической кристаллической решеткой (Ag, Cu, Au), которые и являются лучшими проводниками.

Переходные металлы (Fe, Ni, Co, Cr, Mn, V, Zr, Nb, Mo, W, Hf, Ta, Re, Pt и др.) имеют меньшую электропроводность, что связано с их специфическим электронным строением. В этих элементах внутренние d — или f -оболочки неполностью заполнены электронами. В электрическом поле часть валентных электронов из внешней s — оболочки переходят на свободные уровни внутренних оболочек, что приводит к уменьшению числа свободных электронов, участвующих в проводимости.

Особенности электронного строения переходных металлов являются причиной многих их специфических свойств: тепловых, магнитных, склонности к полиморфизму, переменной валентности и др.

И в заключение, у чистых металлов при нагреве средняя энергия электронов практически остается без изменения, что свидетельствует о малой теплоемкости электронного газа.

Связь с удельной проводимостью[править | править код]

В изотропных материалах связь между удельным сопротивлением ρ{\displaystyle \rho } и удельной проводимостью σ{\displaystyle \sigma } выражается равенством

ρ=1σ.{\displaystyle \rho ={\frac {1}{\sigma }}.}

В случае анизотропных материалов связь между компонентами тензора удельного сопротивления ρij{\displaystyle \rho _{ij}} и тензора удельной проводимости σij{\displaystyle \sigma _{ij}} имеет более сложный характер. Действительно, закон Ома в дифференциальной форме для анизотропных материалов имеет вид:

Ji(r→)=∑j=13σij(r→)Ej(r→).{\displaystyle J_{i}({\vec {r}})=\sum _{j=1}^{3}\sigma _{ij}({\vec {r}})E_{j}({\vec {r}}).}

Из этого равенства и приведённого ранее соотношения для Ei(r→){\displaystyle E_{i}({\vec {r}})} следует, что тензор удельного сопротивления является обратным тензору удельной проводимости. С учётом этого для компонент тензора удельного сопротивления выполняется:

ρ11=1det(σ)σ22σ33−σ23σ32,{\displaystyle \rho _{11}={\frac {1}{\det(\sigma )}},}

ρ12=1det(σ)σ33σ12−σ13σ32,{\displaystyle \rho _{12}={\frac {1}{\det(\sigma )}},}

где det(σ){\displaystyle \det(\sigma )} — определитель матрицы, составленной из компонент тензора σij{\displaystyle \sigma _{ij}}. Остальные компоненты тензора удельного сопротивления получаются из приведённых уравнений в результате циклической перестановки индексов 1, 2 и 3.

Применение

Константановая проволока служит для изготовления проводников между приемником и контактором высокоточных температурных измерителей. Также из нее делают компенсационные провода термопар. Из проволоки и лент создают резистивные, ленточные и проволочные нагревательные элементы промышленных печей по выплавке металлов с небольшой температурой плавления. Наконец, из константана производят реостаты, резисторы, тензометрические датчики.

Во-первых, высокое электрическое сопротивление, способствует быстрому и сильному нагреву. Во-вторых, малый температурный коэффициент сопротивления позволяет значительно упростить конструкцию нагревателя. Так, он избавляет от необходимости понижения напряжения при запуске, следовательно, не требуется трансформатор. В-третьих, хорошие технологические особенности позволяют создавать детали сложной конфигурации.

Таким образом, благодаря названным свойствам константана в совокупности возможно изготовление из него коротких нагревательных элементов большой площади поперечного сечения. Это считают существенным преимуществом по следующим причинам. Во-первых, печи многих типов, например, лабораторные, рассчитаны на короткие нагревательные элементы.  Во-вторых, детали большого диаметра характеризуются большим сроком службы.

Константан применяют как для открытых, так и для закрытых нагревателей. В первом случае его используют в виде ленты и толстой проволоки. Это объясняется сгоранием тонкой проволоки на открытом воздухе при высоких температурах (более 400-450 °C). Однако материал в такой форме актуален для печей с инертным газом, вакуумных печей, закрытых нагревателей. В последнем случае в устройствах типа ТЭН, ориентированных на нагрев жидкости, воздуха, полов и т. д., константан не контактирует с окружающей средой. В большинстве таких нагревателей он в виде спирали из нити помещен в герметичную трубку. Для высокомощных моделей применяют толстую проволоку и ленту.

Также относительно формы константана следует отметить, что проволоку считают более предпочтительной по техническим и экономическим особенностям для нагревательного оборудования в сравнении с лентой. Так, для крупных промышленных печей применяют материал диаметром 3-7 мм, для меньших аналогов – 0,03-2,5 мм проволоку. К преимуществам проволоки перед лентой относят меньшую стоимость и простоту изготовления нагревательных элементов. Так, спиральные детали создают путем станковой навивки. К тому же проволочную спираль, благодаря компактности и высокой пластичности, можно разместить в оборудовании различными способами: на сводах и стенках зигзагами и лабиринтом, подвесить на керамических изоляторах, навить на трубчатое основание. Второй способ применяют на низкотемпературных печах, а третий считают наиболее эффективным. Вследствие больших трудоемкости и затратности создания нагревательных элементов из ленты обычно ее применяют в основном в специфических случаях.  В любом случае константановые нагревательные элементы близки по параметрам эффективности, независимо от формы.

Удельное сопротивление различных проводников

Как бы то ни было, а при расчетах используется ρ именно в нормальных условиях. Приведем таблицу, по которой можно сравнить эту характеристику у разных металлов:

металл	удельное сопротивление, Ом·м	температурный коэффициент, 1/°С* 10^-3
медь	1,68*10^-8	3,9
алюминий	2,82*10^-8	3,9
железо	1*10^-7	5
серебро	1,59*10^-8	3,8
золото	2,44*10^-8	3,4
магний	4,4*10^-8	3,9
олово	1,09*10^-7	4,5
свинец	2,2*10^-7	3,9
цинк	5,9*10^-8	3,7

Как видно из таблицы, лучший проводник — это серебро. И только его стоимость мешает массово применять его в производстве кабеля. У.с. алюминия тоже небольшое, но меньше, чем у золота. Из таблицы становится понятно, почему проводка в домах либо медная, либо алюминиевая.

В таблицу не включен никель, у которого, как мы уже сказали, немного необычный график зависимости у. с. от температуры. Удельное сопротивление никеля после повышения температуры до 400 градусов начинает не расти, а падать. Интересно он ведет себя и в других сплавах замещения. Вот так ведет себя сплав меди и никеля в зависимости от процентного соотношения того и другого:

А этот интересный график показывает сопротивление сплавов Цинк — магний:

В качестве материалов для изготовления реостатов используют высокоомные сплавы, вот их характеристики:

сплав	удельное сопротивление
манганин	4,82*10^-7
константан	4,9*10^-7
нихром	1,1*10^-6
фехраль	1,2*10^-6
хромаль	1,2*10^-6

Это сложные сплавы, состоящие из железа, алюминия, хрома, марганца, никеля.

Что касается углеродистых сталей, то оно составляет примерно 1,7*10^-7 Ом · м.

Разница между у. с. различных проводников определяет и их применение. Так, медь и алюминий массово применяются при производстве кабеля, а золото и серебро — в качестве контактов в ряде радиотехнических изделий. Высокоомные проводники нашли свое место среди производителей электроприборов (точнее, они и создавались для этого).

Изменчивость этого параметра в зависимости от условий внешней среды легла в основу таких приборов, как датчики магнитного поля, терморезисторы, тензодатчики, фоторезисторы.

Параметры и особенности

Данное название носит сплав медно-никелевого состава, характеризующийся термостабильностью, электрическим сопротивлением, обрабатываемостью, используется в электротехнической промышленности.

Последнее обеспечивает стабильность сопротивления при различной температуре. Благодаря параметрам сопротивления константан называют резистивным сплавом. К тому же данный материал характеризуется значительной термоэлектродвижущей силой. Наконец, константан обладает хорошим технологическими свойствами, обуславливающими обрабатываемость его механическими методами. Так, для него применимы паяние, чеканка, штамповка, ковка и т. д. После отжига возможно использовать резание. Загрязнение цинком существенно затрудняет обработку.

Далее приведены прочие характеристики константана. Плотность его равна 8,8–8,9 г/см3. Таким образом, это наиболее плотный никелевый сплав, превосходящий по данному параметру сталь. Данная особенность, определяющая большую массу константана, обусловлена значительной долей меди в его составе. Температура плавления составляет 1260 °C, благодаря чему сплав является термостабильным, сохраняя до названной температуры внутреннее строение. Твердость равна 155 НВ, предел прочности на разрыв – 400 МПа. Температурный коэффициент линейного расширения составляет 14,4×10-6 в диапазоне от 20 до 100 °C. Теплоемкость равна 0,0977 кал/г×C, теплопроводность – 0,05 кал/см×с×C. Магнитные свойства отсутствуют. Константан характеризуется высокими показателями пластичности. Так, модуль упругости составляет 16600 кгс/мм2, относительное удлинение достигает 30%, сужение – 71%. Следует отметить, что пластичность значительно сокращается при загрязнении константана цинком. Благодаря высокому пределу выносливости, составляющему для горячетканых прутков 243 МПа (что соответствует стали 45), константан подходит для условий переменных нагрузок. Медно-никелевый состав обеспечивает сопротивление сплава коррозии. Так, он не реагирует с кислородом до 800 °C, а также с органическими кислотами и соляными растворами. Цвет – желтоватый.

Ввиду невысокой прочности константан нередко подвергают дополнительной обработке. После отжига предел прочности возрастает до 700-800 МПа, что приравнивает сплав по данному показателю к стали 45. Для еще большего упрочнения рассматриваемого материала применяют наклеп, подразумевающий поверхностную прокатку стальными роликами, вызывающую пластические деформации. В результате такой обработки константан обретает показатели предела прочности в 850 МПа и твердости в 75-90 НВ. Однако нужно учитывать, что как механическая, так и термическая обработка константана МНМц 40-1,5 сокращает пластичность: относительное удлинение снижается до 4%, сужение – до 21%.

Данное покрытие формируется в результате прокаливания, поэтому изделия, рассчитанные на применение в электрооборудовании, подвергают данной обработке при производстве.

Стоимость константана формируется, прежде всего, под влиянием цены Ni. Например, стоимость рассматриваемого материала в октябре 2017 г. составляла в среднем 5 тыс. рублей за 1 кг. Во многом она зависит от формы и ее особенностей. Так, лента немного дороже в сравнении с проволокой. А для проволоки имеет значение толщина: варианты с большим диаметром дешевле. Например, на декабрь 2016 г. тонна 0,6 мм проволоки стоила около 2,3 млн., а материала диаметром 1,2 мм – 0,8-1 млн. К тому же, как видно из приведенных данных, при массовой реализации цена значительно снижается. Цена покупки также определяется несколькими факторами. Во-первых, большое значение имеет состояние лома, определяемое, прежде всего, наличием следов коррозии. Во-вторых, для проволоки имеет значение диаметр. Тонкие материалы ценятся выше.

В-третьих, важен объем поставок. Пункты приема лома предпочитают принимать крупные партии (более 100 кг) ввиду ускоренной реализации. В таких случаях они наценивают лом на 10–15%.

Обобщение понятия удельного сопротивления

Кусок резистивного материала с электрическими контактами на обоих концах

Удельное сопротивление можно определить также для неоднородного материала, свойства которого меняются от точки к точке. В этом случае оно является не константой, а скалярной функцией координат — коэффициентом, связывающим напряжённость электрического поля E→(r→){\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})} и плотность тока J→(r→){\displaystyle {\vec {J}}({\vec {r}})} в данной точке r→{\displaystyle {\vec {r}}}. Указанная связь выражается :

E→(r→)=ρ(r→)J→(r→).{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=\rho ({\vec {r}}){\vec {J}}({\vec {r}}).}

Эта формула справедлива для неоднородного, но изотропного вещества. Вещество может быть и анизотропно (большинство кристаллов, намагниченная плазма и т. д.), то есть его свойства могут зависеть от направления. В этом случае удельное сопротивление является зависящим от координат тензором второго ранга, содержащим девять компонент ρij{\displaystyle \rho _{ij}}. В анизотропном веществе векторы плотности тока и напряжённости электрического поля в каждой данной точке вещества не сонаправлены; связь между ними выражается соотношением

Ei(r→)=∑j=13ρij(r→)Jj(r→).{\displaystyle E_{i}({\vec {r}})=\sum _{j=1}^{3}\rho _{ij}({\vec {r}})J_{j}({\vec {r}}).}

В анизотропном, но однородном веществе тензор ρij{\displaystyle \rho _{ij}} от координат не зависит.

Тензор ρij{\displaystyle \rho _{ij}}симметричен, то есть для любых i{\displaystyle i} и j{\displaystyle j} выполняется ρij=ρji{\displaystyle \rho _{ij}=\rho _{ji}}.

Как и для всякого симметричного тензора, для ρij{\displaystyle \rho _{ij}} можно выбрать
ортогональную систему декартовых координат, в которых матрица ρij{\displaystyle \rho _{ij}} становится диагональной, то есть приобретает вид, при котором из девяти компонент ρij{\displaystyle \rho _{ij}} отличными от нуля являются лишь три: ρ11{\displaystyle \rho _{11}}, ρ22{\displaystyle \rho _{22}} и ρ33{\displaystyle \rho _{33}}. В этом случае, обозначив ρii{\displaystyle \rho _{ii}} как ρi{\displaystyle \rho _{i}}, вместо предыдущей формулы получаем более простую

Ei=ρiJi.{\displaystyle E_{i}=\rho _{i}J_{i}.}

Величины ρi{\displaystyle \rho _{i}} называют главными значениями тензора удельного сопротивления.

Таблица удельных сопротивлений проводников

Материал проводника	Удельное сопротивление ρ в
Серебро Медь Золото Латунь Алюминий Натрий Иридий Вольфрам Цинк Молибден Никель Бронза Железо Сталь Олово Свинец Никелин (сплав меди, никеля и цинка) Манганин (сплав меди, никеля и марганца) Константан (сплав меди, никеля и алюминия) Титан Ртуть Нихром (сплав никеля, хрома, железа и марганца) Фехраль Висмут Хромаль	0,015 0,0175 0,023 0,025. 0,108 0,028 0,047 0,0474 0,05 0,054 0,059 0,087 0,095. 0,1 0,1 0,103. 0,137 0,12 0,22 0,42 0,43. 0,51 0,5 0,6 0,94 1,05. 1,4 1,15. 1,35 1,2 1,3. 1,5

Из таблицы видно, что железная проволока длиной 1 м и сечением 1 мм 2 обладает сопротивлением 0,13 Ом. Чтобы получить 1 Ом сопротивления нужно взять 7,7 м такой проволоки. Наименьшим удельным сопротивлением обладает серебро. 1 Ом сопротивления можно получить, если взять 62,5 м серебряной проволоки сечением 1 мм 2 . Серебро — лучший проводник, но стоимость серебра исключает возможность его массового применения. После серебра в таблице идет медь: 1 м медной проволоки сечением 1 мм 2 обладает сопротивлением 0,0175 Ом. Чтобы получить сопротивление в 1 Ом, нужно взять 57 м такой проволоки.

Химически чистая, полученная путем рафинирования, медь нашла себе повсеместное применение в электротехнике для изготовления проводов, кабелей, обмоток электрических машин и аппаратов. Широко применяют также в качестве проводников алюминий и железо.

Сопротивление проводника можно определить по формуле:

где r — сопротивление проводника в омах; ρ — удельное сопротивление проводника; l — длина проводника в м; S — сечение проводника в мм 2 .

Пример 1. Определить сопротивление 200 м железной проволоки сечением 5 мм 2 .

Пример 2. Вычислить сопротивление 2 км алюминиевой проволоки сечением 2,5 мм 2 .

Из формулы сопротивления легко можно определить длину, удельное сопротивление и сечение проводника.

Пример 3. Для радиоприемника необходимо намотать сопротивление в 30 Ом из никелиновой проволоки сечением 0,21 мм 2 . Определить необходимую длину проволоки.

Пример 4. Определить сечение 20 м нихромовой проволоки, если сопротивление ее равно 25 Ом.

Пример 5. Проволока сечением 0,5 мм 2 и длиной 40 м имеет сопротивление 16 Ом. Определить материал проволоки.

Материал проводника характеризует его удельное сопротивление.

По таблице удельных сопротивлений находим, что таким сопротивлением обладает свинец.

Выше было указано, что сопротивление проводников зависит от температуры. Проделаем следующий опыт. Намотаем в виде спирали несколько метров тонкой металлической проволоки и включим эту спираль в цепь аккумулятора. Для измерения тока в цепь включаем амперметр. При нагревании спирали в пламени горелки можно заметить, что показания амперметра будут уменьшаться. Это показывает, что с нагревом сопротивление металлической проволоки увеличивается.